フーリエ級数とは
久しぶりの投稿です。
最近業務が忙しくなかなかブログに時間が充てれなかったので、ログイン自体久々でした(笑)
今回はフーリエ級数について記事にしていきます。
フーリエ級数
数学が好きな方や電気回路が得意な方であれば一度は聞いたことがあるはずです。
フーリエ級数とは、複雑な周期波形が存在する際、その波形は正弦波や余弦波の無限和により表現できるというものです。
初めて見た時感動しました(笑)
どんなに複雑な物でも簡単な周期関数の和で表されるなんて、数学の美しさを感じちゃいますよね～。
複雑な波形をyとすると、yは以下の式で表されます。
$$ y=\frac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^\infty(a_{k}cos kx+b_{k}sin kx) $$
ここで、
$$ a_{k}=\int_{-\pi} ^ {\pi} f(x) cos kx dx $$
$$ b_{k}=\int_{-\pi} ^ {\pi} f(x) sin kx dx $$
これらの導出は三角関数の直交性を利用する事により導出可能です。
この式でわかる事は、ある周期関数が与えられたとき、その波形はどんなに複雑であっても正弦波、余弦波の逓倍の和で表現できるという事です（超大事）
また、どの程度の高調波を考慮するかで、その波形を再現する精度が変わってきます。
フーリエ級数の例題
ではフーリエ級数の例を実際に見ていきましょう！ ここでは、
$$
f_{x}=x
$$
ここで、f(x)は
$$
(-2\pi \leqq{x} \leqq 2\pi)
$$
で1周期の周期関数とします。
これに、フーリエ級数を適用して計算していきます。
その結果をグラフにしたものが下図です。
この結果より、k=1、すなわち、考慮する高調波が0個のときは完全な正弦波のみとなっていますが、高調波を加算していくと、$$y=f(x)$$に近づいていく事が分かります。また、グラフの両端は周期関数のため、左側では、右側の値に近づこうとし、右側では左側の値に近づこうとしているため、屈曲した形となります。
まとめ
今回はフーリエ級数展開について記事にしました。kの数を極端に多くすることで、任意の周期関数とほとんど同じになることが確認できました。フーリエ級数よりもフーリエ変換の方が実用的だとおもいますので、今度時間ができたらフーリエ変換についても記事にしたいと思います！
